nếu a, b là các số dương hãy chứng minh phương trình \(\dfrac{a}{x^3+2x-1}+\dfrac{b}{x^3+x-2}=0\) có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (-1;1)
Chứng minh phương trình \(3x^4-3x^3-5x^2+2x+2=0\) có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng (-1;1)
Đặt \(f\left(x\right)=3x^4-3x^3-5x^2+2x+2\)
Hiển nhiên \(f\left(x\right)\) liên tục trên R cũng như mọi khoảng con của nó
\(f\left(-1\right)=1>0\)
\(f\left(-\dfrac{3}{4}\right)=-\dfrac{25}{256}< 0\)
\(f\left(0\right)=2>0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right).f\left(-\dfrac{3}{4}\right)< 0\\f\left(-\dfrac{3}{4}\right).f\left(0\right)< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(x\right)\) có ít nhất 2 nghiệm thuộc (-1;0) nên có ít nhất 2 nghiệm thuộc (-1;1)
Cho các phương trình\(x^2+bx+c=0\) và \(x^2+cx+b=0\) trong đó \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\)
Chứng minh
rằng ít nhất một trong các phương trình trên có nghiệm.
\(\Delta_1=b^2-4c\) ; \(\Delta_2=c^2-4b\)
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow bc=2\left(b+c\right)\)
Do đó:
\(\Delta_1+\Delta_2=b^2+c^2-4\left(b+c\right)=b^2+c^2-2bc=\left(b-c\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại ít nhất 1 trong 2 giá trị \(\Delta_1\) hoặc \(\Delta_2\) không âm
\(\Rightarrow\) Ít nhất một trong 2 phương trình trên có nghiệm
Cho a,b,c là các số thực dương phân biệt có tổng bằng 3. Chứng minh rằng trong ba phương trình \(x^2-2ax+b=0;x^2-2bx+c;x^2-2cx+a=0\)
có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân biệt và ít nhất một phương trình vô nghiệm
* Giả sử cả 3 pt đều có nghiệm kép hoặc vô nghiệm ta có :
pt \(x^2-2ax+b=0\) (1) có \(\Delta_1'=\left(-a\right)^2-b=a^2-b\le0\)
pt \(x^2-2bx+c=0\) (2) có \(\Delta_2'=\left(-b\right)^2-c=b^2-c\le0\)
pt \(x^2-2cx+a=0\) (3) có \(\Delta_3'=\left(-c\right)^2-a=c^2-a\le0\)
\(\Rightarrow\)\(\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'=\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)\le0\) (*)
Lại có : \(0< a,b,c< 3\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a\left(3-a\right)>0\\b\left(3-b\right)>0\\c\left(3-c\right)>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a>a^2\\3b>b^2\\3c>c^2\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\)\(\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)< 3\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=2\left(a+b+c\right)=6>0\)
trái với (*)
Vậy có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân biệt
cái kia chưa bt làm -_-
nhầm r >_< sửa lại chỗ này nhé
Lại có : \(0< a,b,c< 3\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a\left(3-a\right)< 0\\b\left(3-b\right)< 0\\c\left(3-c\right)< 0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a< a^2\\3b< b^2\\3c< c^2\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\)\(\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)>3\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=6>0\) :))
Chứng minh phương trình :
a) \(x^2-3x-7=0\) luôn có nghiệm
b) \(\cos2x=2\sin x-2\) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \(\left(-\dfrac{\pi}{6};\pi\right)\)
c) \(\sqrt{x^3+6x+1}-2=0\) có nghiệm dương
cho biết tập hợp các giá trị của tham số để phương trình \(2\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-2m-1=0\)
có nghiệm là S = \(\left[\dfrac{-b}{a};+\infty\right]\)
với a, b là các số nguyên dương a/b là phân số tối giản. Tính a + b
1. Giải phương trình $\sqrt2.\sqrt{2x^2 + x + 1} - \sqrt{4x-1} + 2x^2+3x-3 = 0$.
2. Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab+bc+ca = 3.$ Chứng minh
$\dfrac{a^3}{b+2c} + \dfrac{b^3}{c+2a} + \dfrac{c^3}{a+2b} \ge 1.$
b, \(\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}\ge1\)
\(\frac{a^4}{ab+2ac}+\frac{b^4}{bc+2ab}+\frac{c^4}{ac+2bc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac+2ac+2ab+2bc}\)( Bunhia dạng phân thức )
mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{3+2\left(ab+ac+bc\right)}=\frac{9}{3+6}=1\)( đpcm )
1.
Điều kiện .
Phương trình tương đương với \\
Với ta có:
.
Suy ra
1.
√2 × √(2x2+x+1) + √(4x-1) + 3x-3=0
⇌[√(4x2+2x+2)-2] - [√(4x-1) -1] + (2x2+3x-2)=0
⇌(4x2+2x-2)/[√(4x2+2x+2)+2] - (4x-2)/[√(4x-1)+1] + (2x-1)(x+2) =0
⇔(2x-1) × [(2x+2)/√(4x2+2x+2+2) - 2/(√4x-1)+1+x+2]=0
Với x≥1/4 thì (2x+2)/(√4x2+2x+2+2)≥0 hoặc x+2>2 hoặc (√4x-1)+1≥1 ⇌ 2/[(√4x-1)+1]≤2
⇒(2x+2)/[(√4x2+2x+2)+2] - 2/[(x-1)+1]+x+2>0-2+2=0
⇌ 2x-1=0⇒x=1/2
Vậy x=1/2
2.
Áp dụng bất đẳng thức ta có :
Vế trái = a4/(ab +2ac) + b4/(bc+2ab) + c4/(ac+2bc)≥[(a2 + b2 +c2)2]/[3(ab+bc+ca) =[(a2+b2+c2)2]/9
Ấp dụng bất đẳng thức ta có :
ab+bc+ca≤a2+b2+c2
Vế trái ≥ [(a2+b2+c2)]/9≥32/9 =1
⇒ Vế trái ≥1 (đpcm)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
1) gọi x là nghiệm trong khoảng \(\left(\pi;2\pi\right)\) của phương trình \(cosx=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) nếu biểu diễn \(x=\dfrac{a\pi}{b}\) với a, b là 2 số nguyên và \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản thì ab bằng bao nhiêu
2) phương trình \(sinx=\dfrac{1}{2}\) có bao nhiêu nghiệm trên đoạn \(\left[0;20\pi\right]\)
3) phương trình \(cos\)(x + 30độ ) = \(\dfrac{1}{2}\) có nghiệm là
1) nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(cot\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\) là
2) phương trình \(sin\left(\dfrac{2x}{3}+\dfrac{\pi}{3}\right)=0\) có nghiệm là
3) họ nghiệm của phương trình \(cot\)(2x - 30 độ) = \(\sqrt{3}\) là
Cho F=\(\dfrac{1}{x^2-2x+1}-\left(\dfrac{x}{x^2-1}-\dfrac{1}{x\left(x^2-1\right)}\right)\):\(\dfrac{x^2-2x+1}{x+x^3}\)
a) Rút gọn F
b) Với giá trị của với x là nghiệm của phương trình (x-2)(x+1)=0
c) Tính giá trị của x để F =-1
d) Chứng minh rằng F<0